2024.6.25 二重積分【scipy】

scipy.dblquad()を用いて二重積分を計算することができる。

integrate.dblquad(関数名, 積分区間2小, 積分区間2大, 積分区間1小, 積分区間1大)

積分区間1が積分区間2の変数に依存する場合には関数として指定する必要がある。そこでラムダ関数が用いられる。

積分の対象となる関数を作るとき、第1引数が積分区間2(2回目の積分)、第2引数が積分区間1（1回目の積分）の変数に対応する。

例題１

１回目に積分する変数$ xは区間が$ 0\leq x \leq 1、２回目に積分する変数$ yは区間$ 2\leq y \leq 3とする。つまり、１回目の積分区間が２回目の変数に影響を受けない（四角く重積分する）状況を考える。

$ I = \int_{2}^{3}\int_{0}^{1} x^2 y {\mathrm d}x \mathrm{d} y

code:integrate2.py

import numpy as np

import scipy.integrate as integrate

def func1(x, y):

return x**2*y

ans1, acc1 = integrate.dblquad(func1, 2, 3, 0, 1)

print(ans1, acc1)

code:result1.txt

0.8333333333333333 1.109419438358333e-14

高校数学の美しい物語を例に計算を行ってみよう。

例題２

１回目に積分する変数は$ xで区間が$ 1-y\leq x \leq 1、2回目に積分する変数は$ yで区間は$ 0\leq y \leq 1である。

code:integrate2.py

import numpy as np

import scipy.integrate as integrate

def func2(x,y):

return x*y**2

ans2, acc2 = integrate.dblquad(func2, 0 , 1, lambda y:1-y, 1)

print(ans2, acc2)

code:result2.txt

0.15 5.5270076486663465e-15

ラムダ関数においては、変数の順序だけ対応していればよく、変数名は結果に作用しない。

例題３

積分する変数の順序を入れ替える例。

code:integrate3.py

import numpy as np

import scipy.integrate as integrate

def func3(y, x):

return -1 / ((2*x + y + 1)**2)

ans3,acc3 = integrate.dblquad(func3, 0, 1, lambda x:x**2, lambda x:x)

print(ans3, acc3)

print('参考：',np.log(4)/3 - 1/2)

code:result3.txt

-0.03790187962670312 5.409483724085358e-11

参考： -0.03790187962670316